Question

求和：S_n=（x+

1

x

）²+（x²+

1

x2

）²+…+（xⁿ+

1

xn

）²．

Answer 1

分析：先讨论当x=±1时，通项为常数，求出其前n项的和；再求当x≠±1时，将数列的通项展开，判断出其是有三个特殊数列的和构成，两个等比数列一个等差数列；利用分组求和的方法，求出前n项和

解答：解：当x=±1时，
∵（xⁿ+

1

xn

）²=4，∴S_n=4n，
当x≠±1时，
∵a_n=x²ⁿ+2+

1

x2n

，
∴S_n=（x²+x⁴++x²ⁿ）+2n+（

1

x2

+

1

x4

++

1

x2n

）=

x2(x2n-1)

x2-1

+

x-2(1-x-2n)

1-x-2

+2n
=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n，
所以当x=±1时，S_n=4n；
当x≠±1时，S_n=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n．

点评：求数列的前n项和，关键是判断出数列通项的特点，然后选择合适的求和方法．