平面直角坐标系xoy中,动点满足:点P到定点
与到y轴的距离之差为
.记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点,过点A和原点O的直线交直线于点D,求证:直线DB平行于x轴.
(1),(2)详见解析.
解析试题分析:(1)求动点轨迹方程,首先设动点坐标,本题已设,其次列动点满足条件
,然后利用坐标化简关系式,即
,
,最后要考虑动点满足限制条件,本题为已知条件
,另外本题对条件
的化简也可从抛物线的定义上理解,这样更快,(2)证明直线平行于
轴,可利用斜率为零,或证明纵坐标相等,总之都需要从坐标出发.注意到点在抛物线上,设点的坐标可简洁,设
的坐标为
,利用
三点共线解出点
的纵坐标为
,根据直线
与直线
的交点解出
的纵坐标也为
.
试题解析:(1)依题意: 2分
4分
6分
注:或直接用定义求解.
(2)法1:设,直线
的方程为
由 得
8分
直线的方程为
点
的坐标为
2分
直线
平行于
轴. 14分
法2:设的坐标为
,则
的方程为
点
的纵坐标为
, 8分
直线
的方程为
点
的纵坐标为
. 12分
轴;当
时,结论也成立,
直线
平行于
轴. 14分
考点:轨迹方程,直线与抛物线位置关系
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为和
,且|
|=2,
点(1,)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过的直线
与椭圆C相交于A,B两点,若
A
B的面积为
,求以
为圆心且与直线
相切圆的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且=
.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程.
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
(3)在(2)的条件下,试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
,右焦点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点F2斜率为(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知的三个顶点都在抛物线
上,且抛物线的焦点
满足
,若
边上的中线所在直线
的方程为
(
为常数且
).
(1)求的值;
(2)为抛物线的顶点,
,
,
的面积分别记为
,
,
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为
,其左、右焦点分别是F1、F2,过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点,且△EGF2的周长为4
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B,设P为椭圆上一点,且满足+
=t
(O为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数t的取值范围.
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