Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）
由f'（x）=0得，…（3分）
所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）
所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）
（Ⅱ）设切点坐标为（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，…（6分）
切线的斜率为lnx₀+1，
所以，，…（7分）
解得x₀=1，y₀=0，…（8分）
所以直线l的方程为x-y-1=0．…（9分）
（Ⅲ）g（x）=xlnx-a（x-1），
则g'（x）=lnx+1-a，…（10分）
解g'（x）=0，得x=e^a-1，
所以，在区间（0，e^a-1）上，g（x）为递减函数，
在区间（e^a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）
当e^a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，
所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）
当1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1）=a-e^a-1．…（13分）
当e^a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，
所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．…（14分）
综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-e^a-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．
分析：（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．
（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；
（III）求导：g'（x）=lnx+1-a解g'（x）=0，得x=e^a-1，得出在区间（0，e^a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e^a-1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e^a-1≤1，当1＜e^a-1＜e，当e^a-1≥e，从而得出g（x）的最小值．
点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．