【题目】已知函数
，求证：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）在
上有且仅有2个零点.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）首先求出函数的导数
，设
，对
求导，说明其单调性，再根据零点存在性定理可得在
有唯一零点，从而得证；
（2）结合（1）的单调性利用零点存在性定理证明
上有两个零点，当
时无零点.
解：（1）因为
，所以
，
设，则
，则当
时，
，
所以即在单调递减，
又
，
，且图像是不间断的，
由零点存在性定理可得在有唯一零点，设为
.
则当
时，
；当
时，
.
所以
在
单调递增，在
单调递减，
故在存在唯一极大值点.
（2）因为，所以，
设，则，则当
时，，
所以即在单调递减，
由（1）知，在单调递增，在单调递减.
又
，
，所以
，
又的图像是不间断的，所以存在
，使得
；
又当
时，
，所以在
递减，
因
，又
，又的图像是不间断的，
所以存在
，使得
；
当时，
，
，所以
，从而在
没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
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【题目】“既要金山银山，又要绿水青山”。某风景区在一个直径
为
米的半圆形花圆中设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点
（与
不重合），沿
修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧
修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计。
（1）设
（弧度），将绿化带的总长度表示为
的函数
；
（2）求绿化带的总长度的最大值。
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【题目】对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），若以直角坐标系中的原点为极点， 
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
（
为实数.）
（1）求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（2）若曲线
与曲线
有公共点，求
的取值范围.
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【题目】下列四种说法中，
①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；
②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；
③已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，
），则f（4）的值等于
；
④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），则向量a在向量b方向上的投影是
，
其中说法正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知直线
的参数方程为
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点
，直线与曲线交于
两点，求
的值.
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