【题目】设是定义在R上的两个函数,
满足
,
满足
,且当
时,
,
.若在区间
上,关于
的方程
有8个不同的实数根,则k的取值范围是______
【答案】
【解析】
由题可得是周期为4的函数,
是周期为2的函数,转化方程有8个不同的实数根为
与
在
内有8个交点,利用函数图像求解即可
由题,,所以
的周期为
;
因为,则
的周期为2;
当时,
,则
的图像为以
为圆心,半径为1的在
轴上方的半圆;由
,则当
时,是以
为圆心, 半径为1的在
轴下方的半圆,
由周期性画出部分图像,如图所示,即时与
在
内有2个交点,
因为关于的方程
有8个不同的实数根,则
时与
在
内需有6个交点,则
①令与圆
相切,此时有一个交点,则
,则
(与上半圆相切)或
(与下半圆相切);
②令过
,此时有2个交点,则
;令
过
,此时有2个交点,则
;
假设在时有2个交点,即
与圆
的上半圆有2个交点,则
,由函数的周期性,则在
内有6个交点;
当时,图像为圆
的下半圆向右平移2个单位得到,则当
时,
与圆
的下半圆有2个交点,由
的周期为2,则当
时,与
也有2个交点,同理,则在
内有6个交点;
综上,
故答案为:
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】冬季历来是交通事故多发期,面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题,针对近期事故暴露出来的问题,强薄羽、补短板、堵漏洞,进一步推动五大行动,巩固扩大五大行动成果,全力确保冬季交通安全形势稳定.据此,某网站推出了关于交通道路安全情况的调查,通过调查年龄在的人群,数据表明,交通道路安全仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此类问题的约占80%,现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人,并将这100人按年龄分组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(2)现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查,求第4组恰好抽到2人的概率;
(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人,设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左焦点为
,经过点
的直线与椭圆相交于
,
两点,点
为线段
的中点,点
为坐标原点.当直线
的斜率为
时,直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆的左顶点,点
为椭圆的右顶点,过
的动直线交该椭圆于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的各项均为整数,其前n项和为
.规定:若数列
满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第
项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列
为“r关联数列”.
(1)若数列为“6关联数列”,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求出,并证明:对任意
,
;
(3)若数列为“6关联数列”,当
时,在
与
之间插入n个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列,求
,并探究在数列
中是否存在三项
,
,
其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知无穷数列,
,
满足:对任意的
,都有
=
,
=
,
=
.记
=
(
表示
个实数
,
,
中的最大值).
(1)若=
,
=
,
=
,求
,
,
的值;
(2)若=
,
=
,求满足
=
的
的所有值;
(3)设,
,
是非零整数,且
,
,
互不相等,证明:存在正整数
,使得数列
,
,
中有且只有一个数列自第
项起各项均为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程;
(2)若P(1,0),直线C2与曲线C1相交于A,B两点,求|PA||PB|的值.
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