【题目】已知无穷数列,
,
满足:对任意的
,都有
=
,
=
,
=
.记
=
(
表示
个实数
,
,
中的最大值).
(1)若=
,
=
,
=
,求
,
,
的值;
(2)若=
,
=
,求满足
=
的
的所有值;
(3)设,
,
是非零整数,且
,
,
互不相等,证明:存在正整数
,使得数列
,
,
中有且只有一个数列自第
项起各项均为
.
【答案】(1)=
,
=
,
=
.(2)
,
,
,
.(3)见详解
【解析】
(1)由题意代入分别求出,
,
的值;
(2)设=
,的值,讨论
的函数表达式,进而得出
,
,
,
,
,
都用
表示,进而求出所有的
的值;
(3)分类讨论:先,
,
都不为零,由题意得出矛盾;所以存在正整数
,使
,
,
中至少有一个为零,再讨论两个为零得出矛盾,以此类推,即有:对
,
=
,
=
,
=
,
,此时有且仅有一个数列
自
项起各项均为
.
(1)由题意:=
=
=
;
=
=
=
;
=
=
=
;以此类推,看得出
=
,
=
,
=
.
(2)若=
,
=
,
=
,则
=
,
=
,
=
,
,
=
,
=
,
=
,
当时,
=
,
=
,
=
,
=
,由
=
,得
=
,不符合题意.
当,
=
,
=
,
=
,
,由
=
,
得=
,符合题意.
当,
=
,
=
,
=
,
由=
,得
=
,符合题意,
综上的取值是:
,
,
,
.
(3)先证明:存在正整数,使,
,
,
中至少有一个为零,
假设对任意正整数,
,
,
都不为零,由
,
,
是非零整数,且
,
,
互不相等,得
,
,
若对任意,
,
,
都不为零,则
.即对任意
,
.
当时,
=
,
=
,
=
,
所以=
,所以
单调递减,由
为有限正整数,所以必存在正整数
,使得
,矛盾,
所以存在正整数,使
,
,
中至少有一个为零,
不妨设=
,且
,
…
,则
=
,且
=
,
否则若=
=
,因为
=
,
则必有=
=
=
,矛盾.
于是,=
,
=
,且
=
,所以,
=
,
=
,
=
=
,
以此类推,即有:对,
=
,
=
,
=
,
,
此时有且仅有一个数列自
项起各项均为
.
综上:结论成立.
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【题目】已知数列的前
项和为
,且点
在函数
的图像上;
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:
,
,求
的通项公式;
(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
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【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在实数集上的偶函数
和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式;
(2)若定义在实数集上的以2为最小正周期的周期函数
,当
时,
,试求
在闭区间
上的表达式,并证明
在闭区间
上单调递减;
(3)设(其中
为常数),若
对于
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的
,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
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【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
月收入(单位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入低于55百元的人数 | 月收入不低于55百元的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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