【题目】已知函数在点
处切线的斜率为1.
(1)求的值;
(2)设,若对任意
,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)-1;(2).
【解析】
(1)由题意,求得函数的导数,由
,即
,即可求解
的值.
(2)由对任意,都有
,转化为对任意
,都有
,设
,利用导数求得函数
在
上单调性,可得
,设
,利用导数求得函数
的单调性与最值,进而可得到答案.
(1)由题意得,,
由于,所以
,即
.
(2)由题意得,当时,
,则有
.
下面证当时,对任意
,都有
.
由于时,
,当
时,则有
.
只需证明对任意,都有
.
证明:设,则
,所以
在
上单调递增;
所以当时,
,即
,
所以,则
.
设,
,则
.
设,
,则
.
由于当时,
;当
时,
;
则当时,
.
又时,
,所以当
时,则
,所以
在
上单调递增.
当时,则
,即
,所以
在
上单调递增.
当时,则
.
所以对任意,都有
.
所以,当时,对任意
,都有
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左焦点为
,经过点
的直线与椭圆相交于
,
两点,点
为线段
的中点,点
为坐标原点.当直线
的斜率为
时,直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆的左顶点,点
为椭圆的右顶点,过
的动直线交该椭圆于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知无穷数列,
,
满足:对任意的
,都有
=
,
=
,
=
.记
=
(
表示
个实数
,
,
中的最大值).
(1)若=
,
=
,
=
,求
,
,
的值;
(2)若=
,
=
,求满足
=
的
的所有值;
(3)设,
,
是非零整数,且
,
,
互不相等,证明:存在正整数
,使得数列
,
,
中有且只有一个数列自第
项起各项均为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为
,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意可求得,则
,椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
当直线的斜率不存在或直线
的斜率不存在时,
.
当直线、
的斜率存在时,
,设直线
的方程为
,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,则
.综上可得:直线
与
的斜率之积为定值
.
(Ⅰ)设由题
,
解得,则
,
椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,当直线
的斜率不存在时,
设,则
,直线
的方程为
代入
,
可得
,
,则
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
设直线
的方程为
,
则由消去
可得:
,
又,则
,代入上述方程可得:
,
,
则
,
设直线的方程为
,同理可得
,
直线
的斜率为
直线
的斜率为
,
.
所以,直线与
的斜率之积为定值
,即
.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.
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【题目】(本小题满分13分)如图,在直角坐标系中,角
的顶点是原点,始边与
轴正半轴重合.终边交单位圆于点
,且
,将角
的终边按逆时针方向旋转
,交单位圆于点
,记
.
(1)若,求
;
(2)分别过作
轴的垂线,垂足依次为
,记
的面积为
,
的面积为
,若
,求角
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程;
(2)若P(1,0),直线C2与曲线C1相交于A,B两点,求|PA||PB|的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某专卖店销售一新款服装,日销售量(单位为件)f(n) 与时间n(1≤n≤30、nN*)的函数关系如下图所示,其中函数f(n) 图象中的点位于斜率为 5 和-3 的两条直线上,两直线交点的横坐标为m,且第m天日销售量最大.
(Ⅰ)求f(n) 的表达式,及前m天的销售总数;
(Ⅱ)按以往经验,当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时,市面上会流行该款服装,而日销售量连续下降并低于 30 件时,该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天?请说明理由.
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