【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)已知函数在
时总有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
(1)先对函数求导,得到,分别讨论
,
,
,
四种情况,即可求出结果;
(2)先构造函数,分别讨论
,
两种情况,用导数的方法研究函数单调性,即可根据题意求出参数范围.
(1)因为,
所以.
(ⅰ)若,
恒成立,所以
在
上单调递增.
(ⅱ)若,
,当
时,
,所以
在
上单调递增;当
时,
,所以
在
上单调递增;当
时,
,所以
在
上单调递减.
(ⅲ)若,
恒成立,所以
在
上单调递增.
(ⅳ)若,
,当
时,
,所以
在
上单调递增;当
时,
,所以
在
上单调递减;当
时,
,所以
在
上单调递增.
综上,当或
时,
在
上单调递增;当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减
(2)构造函数,
当时,由
,得
,
,∴
.
当时,
,
因为,所以
,
所以
在
上恒成立,故
在
上单调递增.
,解得
,又
,所以
.
故的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为
.
(1)求圆C的直角坐标方程及直线的斜率;
(2)直线与圆C交于M,N两点,
中点为Q,求Q点轨迹的直角坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】关于函数,有下列四个命题:①
的值域是
;②
是奇函数;③
在
上单调递增;④方程
总有四个不同的解;其中正确的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的各项均为整数,其前n项和为
.规定:若数列
满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第
项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列
为“r关联数列”.
(1)若数列为“6关联数列”,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求出,并证明:对任意
,
;
(3)若数列为“6关联数列”,当
时,在
与
之间插入n个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列,求
,并探究在数列
中是否存在三项
,
,
其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,其中
,
,
,
,
为棱
上的点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设为棱
上的点(不与
,
重合),且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知无穷数列,
,
满足:对任意的
,都有
=
,
=
,
=
.记
=
(
表示
个实数
,
,
中的最大值).
(1)若=
,
=
,
=
,求
,
,
的值;
(2)若=
,
=
,求满足
=
的
的所有值;
(3)设,
,
是非零整数,且
,
,
互不相等,证明:存在正整数
,使得数列
,
,
中有且只有一个数列自第
项起各项均为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是________________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为
,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意可求得,则
,椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
当直线的斜率不存在或直线
的斜率不存在时,
.
当直线、
的斜率存在时,
,设直线
的方程为
,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,则
.综上可得:直线
与
的斜率之积为定值
.
(Ⅰ)设由题
,
解得,则
,
椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,当直线
的斜率不存在时,
设,则
,直线
的方程为
代入
,
可得
,
,则
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
设直线
的方程为
,
则由消去
可得:
,
又,则
,代入上述方程可得:
,
,
则
,
设直线的方程为
,同理可得
,
直线
的斜率为
直线
的斜率为
,
.
所以,直线与
的斜率之积为定值
,即
.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】海水稻就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻,具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来,我国的海水稻研究取得了阶段性成果,目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各株,测量了它们的根系深度(单位:
),得到了如下的茎叶图,其中两竖线之间表示根系深度的十位数,两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数,则下列结论中不正确的是( )
A.海水稻根系深度的中位数是
B.普通水稻根系深度的众数是
C.海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
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