【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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【题目】若动点到定点
与定直线
的距离之和为4.
(1)求点的轨迹方程,并画出方程的曲线草图;
(2)记(1)得到的轨迹为曲线,问曲线
上关于点
(
)对称的不同点有几对?请说明理由.
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【题目】已知等差数列满足
,
.
(1)求的通项公式;
(2)若,数列
满足关系式
,求证:数列
的通项公式为
;
(3)设(2)中的数列的前n项和为
,对任意的正整数n,
恒成立,求实数p的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆
交于点
(点
在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知为椭圆
的左顶点,平行于
的直线
与椭圆相交于
两点.判断直线
是否关于直线
对称,并说明理由.
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【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、
,海岸边界
近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道
,且直线
与曲线
有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段
是函数
图像的一段,点M到
、
的距离分别为8千米和1千米,点N到
的距离为10千米,点P到
的距离为2千米.以
、
分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系
.
(1)求曲线段的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求直线的方程,并求出公路
的长度(结果精确到1米).
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【题目】已知定义在实数集上的偶函数
和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式;
(2)若定义在实数集上的以2为最小正周期的周期函数
,当
时,
,试求
在闭区间
上的表达式,并证明
在闭区间
上单调递减;
(3)设(其中
为常数),若
对于
恒成立,求
的取值范围.
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