【题目】已知等差数列满足
,
.
(1)求的通项公式;
(2)若,数列
满足关系式
,求证:数列
的通项公式为
;
(3)设(2)中的数列的前n项和为
,对任意的正整数n,
恒成立,求实数p的取值范围.
【答案】(1),
;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由等差数列由通项公式,得到首项与公差的方程组,得出首项与公差的值,得到通项公式;
(2)已知数列的递推公式,由叠加法,得到数列的通项公式;
(3)将数列求和得到前n项和后,将条件变形后,得到关于参数p的关系式,这是一个恒成立问题,通过最值的研究,得到本题结论.
(1)设等差数列的公差为d,
由已知,有,
解得
所以,
即等差数列的通项公式为
,
.
(2)因为,
所以,当时,
.
证法一(数学归纳法):
①当时,
,结论成立;
②假设当时结论成立,即
,
那么当时,
,
即时,结论也成立.
由①,②得,当时,
成立.
证法二:当时,
,
所以
将这个式子相加,得
,
即.
当时,
也满足上式.
所以数列的通项公式为
.
(3)由(2),所以
,
原不等式变为
,即
,
对任意
恒成立,
为任意的正整数,
.
的取值范围是
.
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【题目】为了更好地支持“中小型企业”的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当的减免,某机构调查了当地的中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,下面三个结论:
①样本数据落在区间的频率为0.45;
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策,估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策;
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】冬季历来是交通事故多发期,面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题,针对近期事故暴露出来的问题,强薄羽、补短板、堵漏洞,进一步推动五大行动,巩固扩大五大行动成果,全力确保冬季交通安全形势稳定.据此,某网站推出了关于交通道路安全情况的调查,通过调查年龄在的人群,数据表明,交通道路安全仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此类问题的约占80%,现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人,并将这100人按年龄分组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(2)现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查,求第4组恰好抽到2人的概率;
(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人,设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
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【题目】给定数列,记该数列前
项
中的最大项为
,即
,该数列后
项
中的最小项为
,记
,
;
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,
,
;
(2)若是数列
的前
项和,且对任意
,有
,其中
为实数,
且
,
.
(ⅰ)设,证明:数列
是等比数列;
(ⅱ)若数列对应的
满足
对任意的正整数
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】(数学文卷·2017届重庆十一中高三12月月考第16题) 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法:可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1),即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上,解答以下问题:已知椭圆的标准方程为 ,将此椭圆绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(图2),其体积等于______.
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【题目】已知椭圆的左焦点为
,经过点
的直线与椭圆相交于
,
两点,点
为线段
的中点,点
为坐标原点.当直线
的斜率为
时,直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆的左顶点,点
为椭圆的右顶点,过
的动直线交该椭圆于
,
两点,记
的面积为
,
的面积为
,求
的最大值.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点
,它的一个焦点与抛物线E:
的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆
于C、D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l经过点,设点
,且
的面积为
,求k的值;
(3)若直线l过点,设直线
,
的斜率分别为
,
,且
,
,
成等差数列,求直线l的方程.
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【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
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