Question

如图，已知椭圆：

x2

25

+

y2

9

=1，过点F（4，0）作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．
（1）线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；
（2）求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线AB的方程，代入椭圆方程消去x，设A，B的坐标，根据韦达定理可求得y₁+y₂的表达式，根据直线方程可求得x₁+x₂的表达式，进而可求得点M的坐标，根据AB⊥CD，将t换成-

1

t

，即可求得N的坐标，进而可求得MN的直线方程，把y=0代入直线方程求得x=

50

17

进而可推断出直线MN横过(

50

17

，0)．
（2）根据（1）可表示出以AB为直径的圆的方程，进而依据AB⊥CD，将t换成-

1

t

，即可表示出直线CD的方程，两方程相减即可求得公共弦所在的方程，与直线MN方程联解消去t-

1

t

即可求得x和y的关系是，即以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程．

解答：解：（1）设直线AB的方程为：x=ty+4，代入

x2

25

+

y2

9

=1并整理得：
（9t²+25）y²+72ty-81=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有：y1+y2=-

72t

9t2+25

，x1+x2=t(y1+y2)+8=

200

9t2+25

，
所以点M(

100

9t2+25

，

36t

9t2+25

)
∵AB⊥CD，
∴将t换成-

1

t

，即得：N(

100t2

9+25t2

，

36t

9+25t2

).
由两点式得直线MN的方程为x-

25

34

(t-

1

t

)y=

50

17

.
当y=0时，x=

50

17

，所以直线MN恒过定点(

50

17

，0)．
（2）以弦AB为直径的圆M的方程为：x2+y2-

200

9t2+25

x+

72t

9t2+25

y+

319-225t2

9t2+25

=0①
又∵AB⊥CD，
∴将t换成-

1

t

，即得以弦CD为直径的圆N的方程为：x2+y2-

200t2

9+25t2

x-

72t

9+25t2

y+

319t2-225

9+25t2

=0.②
①-②得两圆公共弦所在直线方程为：25x+

17

t- 1 t

-118=0.③
又直线MN的方程为：x-

25

34

(t-

1

t

)y=

50

17

.④
联解③④，消去t-

1

t

，得两圆公共弦中点的轨迹方程为：(x-

50

17

)(x-

118

25

)+y2=0．
其轨迹是过定点(

50

17

，0)的圆．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生分析推理和基本的运算能力．