Question

（2007•武汉模拟）已知点（a_n，a_n-1）在曲线f（x）=

(    ) x

上，且a₁=1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：

1

4

(n+1)

2

3

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤4(n+1)

2

3

-1（n∈N*）
（3）求证：数列{a_n}前n项和Sn≤

(3n+2) 3 n

2

-

3

2

（n≥1，n∈N*）

Answer 1

分析：（ 1）由f（x）=

x2+ 1 x

知x满足：x²+

1

x

≥0，

x3+1

x

≥0，所以

(x+1)(x2-x+1)

x

≥0．由此能够求出f（x）定义域．
（2）由a_n+1²=a_n²+

1

an

，则a_n+1²-a_n²=

1

an

，知

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1²-a₁²=a_n+1²-1．要证明：

1

4

(n+1)

2

3

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤4(n+1)

2

3

-1，只需证明：

1

2

n

1

3

≤an≤2n

1

3

．由数学归纳法能够证明原不等式成立．
（3）要证明：Sn≤

(3n+2) 3 n

2

-

3

2

，只需证：

3	n

＜

(3n+2) 3 n

4

-

[3(n-1)+2] 3 n-1

4

（n≥2）．用分析法可以证明S_n=a₁+a₂+…+a_n≤1+2（

3	2

+

3	3

+…+

3	n

）=

(3n+2) 3 n

2

-

3

2

．

解答：解：（1）由f（x）=

x2+ 1 x

知x满足：x²+

1

x

≥0，
∴

x3+1

x

≥0，
∴

(x+1)(x2-x+1)

x

≥0
∴

x+1

x

≥0，
故x＞0，或x≤-1．
f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）证明：∵a_n+1²=a_n²+

1

an

，则a_n+1²-a_n²=

1

an

，
于是有：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1²-a₁²=a_n+1²-1
要证明：

1

4

(n+1)

2

3

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤4(n+1)

2

3

-1
只需证明：

1

2

n

1

3

≤an≤2n

1

3

（*） 
下面使用数学归纳法证明：

1

2

n

1

3

≤an≤2n

1

3

（n≥1，n∈N*） 
  ①在n=1时，a₁=1，

1

2

＜a₁＜2，则n=1时 （*）式成立．
②假设n=k时，

1

2

k

1

3

≤ak≤2k

1

3

成立，
由 

a

2 k+1

=

a

2 k

+

1

ak

≤4k

1

3

+

1

1 2 k 1 3

=4k

2

3

+

2

k 1 3

要证明：4k

1

3

+

1

1 2 k 1 3

≤4(k+1)

2

3

，
只需2k+1≤

1

2

k

1

3

(k+1)

2

3

只需（2k+1）³≤8k（k+1）²
只需1≤4k²+2k，而4k²+2k≥1在k≥1时，恒成立，
于是ak+12=

1

4

(k+1)

2

3

，于是ak+1≤ 2(k+1)

1

3

，
又ak+12=ak2+

1

ak

≥

1

4

k

2

3

+

1

2k 1 3

，
要证

1

4

k

2

3

+

1

2k 1 3

≥

1

4

(k+1)

2

3

只需证：k+2≥k

1

3

(k+1)

2

3

，
只需证：4k²+11k+8＞0，而4k²+11k+8＞0在k≥1时恒成立．
于是：

a

2 k+1

≥

1

4

(k+1)

2

3

．
因此 

1

2

(k+1)

1

3

≤

a

2 k+1

≤2(k+1)

1

3

得证．
综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．
（3）证明：要证明：Sn≤

(3n+2) 3 n

2

-

3

2

，
由（2）可知只需证：

3	n

＜

(3n+2) 3 n

4

-

[3(n-1)+2] 3 n-1

4

（n≥2）（**）
下面用分析法证明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需证：（3n-2）

3	n

＞（3n-1）

3	n-1

即只需证：（3n-2）³n＞（3n-1）³（n-1），
只需证：2n＞1．
而2n＞1在n≥1时显然成立，
故（**）式得证．
于是由（**）式可知有：

3	2

+

3	3

+…+

3	n

≤

(3n+2) 3 n

4

-

5

4

因此有：S_n=a₁+a₂+…+a_n≤1+2（

3	2

+

3	3

+…+

3	n

）=

(3n+2) 3 n

2

-

3

2

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意数学归纳法和分析法在不等式证明中的灵活运用．