Question

（1）已知函数f（x）=x+

2

x

，x∈[1，5]，求f（x）的值域；
（2）已知函数f(x)=22x-

5

2

.2x+1-6，，其中x∈[0，3]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

，能求出f（x）=x+

2

x

在x∈[1，5]上的最小值2

2

，由函数f（x）=x+

2

x

，x∈[1，5]在[1，2

2

]上是减函数，在[2

2

，5]上是增函数，能求出f（x）在x∈[1，5]上的最大值．

解答：解：（1）∵x∈[1，5]，
∴f（x）=x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

，
当且仅当x=

2

x

，即x=

2

时，f（x）=x+

2

x

取最小值2

2

，
∵函数f（x）=x+

2

x

，x∈[1，5]在[1，2

2

]上是减函数，在[2

2

，5]上是增函数，
且f(1)=1+

2

1

=3，f（5）=5+

2

5

=

27

5

，
∴f（x）的值域是[2

2

，

27

5

]．
（2）∵f(x)=22x-

5

2

.2x+1-6
=（2^x）²-5•2^x-6
=（2x-

5

2

）²+

1

4

，
∵x∈[0，3]，
∴2^x∈[1，8]，
∴当2x=

5

2

时，f(x)min=

1

4

；
当2^x=8时，f(x)max=(8-

5

2

)2+

1

4

=

61

2

．
故f（x）的最大值是

61

2

，最小值是

1

4

．

点评：本题考查指数型复合函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．