Question

【题目】已知函数，．

（1）若的极小值为，求实数的值；

（2）讨论函数的零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案见解析

【解析】

（1）因为，故 ，根据的极小值为，讨论在不同范围内单调性，即可求得答案；

（2），，可得，讨论在不同范围内单调性，即可求得答案.

（1）

，

①当在单增，单减，单增，

的极小值为．

即，

解得或者（舍去）；

②当时，在单增，无极小值；

③当时，在单增，单减，单增，

的极小值为，

解得（舍去）；

综上所述，

（2），，

，

当时，在单增，单减，

由

①当时，即时，无零点；

②当时，即时，有一个零点；

③当时，即时，

当时，，

当时，，

有两个零点；

当时，即时，

在单增，单减，单增，

由，当时，，

有一个零点；

当时，即时，在单增，

由，当时，，

有一个零点；

当时，即时，

在单增，单减，单增，

由，

当时，，所以有一个零点；

综上，当时，没有零点

当或时，有一个零点；

当时，有两个零点．