Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求a，b
（2）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（3）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用极值的意义，建立方程，即可求a，b；
（2）确定函数的单调性，即可判断f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（3）设切点坐标．利用导数的几何意义求切线方程，然后利用切线过原点，确定切点坐标即可．

解答： 解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f'（1）=f'（-1）=0，即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0.

解得a=1，b=0．
（2）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（3）曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y0=

x

3 0

-3x0．
因f′(x0)=3(

x

2 0

-1)，故切线的方程为y-y0=3(

x

2 0

-1)(x-x0)
注意到点A（0，16）在切线上，有16-(

x

3 0

-3x0)=3(

x

2 0

-1)(0-x0)化简得

x

3 0

=-8，解得x₀=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．

点评：本题主要考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，要注意过点的切线和在点处的切线的不同．