Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足sinA（

3

cosA+sinA）=

3

2

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2

2

，求△ABC面积S_△ABC最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）化简整理原式，利用两角和公式可求得sin（2A-

π

6

），进而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理公式求得bc的范围，进而根据三角形面积公式求得其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinA（

3

cosA+sinA）=

3

2

．
∴

3

sinAcosA+sin²A=

3

2

，
∴

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理得a²=b²+c²-bc=8，
又b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
∴bc≤8，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤2

3

，
∴三角形ABC的面积的最大值为2

3

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角形恒等变换的应用，三角形面积公式的应用．注重了对学生综合知识的灵活运用的考查．