Question

设函数f（x）=

3x，x∈[-1，1] 9 2 - 3x 2 ，x∈(1，3)

则f（-log₃2）=

 

；若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由-1≤-log₃2≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（-log₃2）；通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．

解答： 解：由-1≤-log₃2≤1，则f（-log₃2）=3-log32=3log3

1

2

=

1

2

，
当t∈[-1，1]，所以f（t）=3^t∈[

1

3

，3]，
又函数f（x）=

3x，x∈[-1，1] 9 2 - 3x 2 ，x∈(1，3)

则f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=

9

2

-

3

2

•3^t，
因为f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤

9

2

-

3

2

•3^t≤1，即

7

3

≤3^t≤3，
解得：log₃

7

3

≤t≤1，又t∈[-1，1]，
由于t=1，f（1）=3，f（f（1））不成立，
则实数t的取值范围[log₃

7

3

，1）；
当1＜t＜3时，f（t）=

9

2

-

3

2

•t∈（0，3），
由于f（f（t））∈[0，1]，
即有0≤3

9

2

-

3

2

t≤1或0≤

9

2

-

3

2

•（

9

2

-

3

2

t）≤1，
解得t∈∅或1≤t≤

13

9

．
即有t的取值范围为（1，

13

9

]．
综上可得t的范围是[log3

7

3

，1)∪(1，

13

9

]．
故答案为：

1

2

，[log3

7

3

，1)∪(1，

13

9

]．

点评：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．