Question

已知函数f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx

是奇函数，M={y|y=f（x），x＜0}，N={x|ax-a+2＞0}，M⊆N
（1）若实数m的值及a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[-1，t-2]上单调递增，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数奇偶性的性质,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f（x）+f（-x）=0，求得m=2，f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

，求得f（x）的值域，可得M，由M⊆N，N={x|ax＞a-2}，求得a的范围．
（2）若函数f（x）在区间[-1，t-2]上单调递增，结合函数f（x）的图象可得-1＜t-2≤1，求得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0，由函数f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx

是奇函数，
可得f（x）+f（-x）=0，即x²+mx+（-x²-2x）=0，求得m=2，
f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

．
M={y|y=f（x），x＜0}={y|y≥（-1）²+2（-1）=-1}={y|y≥-1}，
由M⊆N，N={x|ax＞a-2}，可得 a≥0，且

a-2

a

＜-1，求得0≤a＜1．
（2）若函数f（x）在区间[-1，t-2]上单调递增，
结合函数f（x）的图象可得-1＜t-2≤1，求得1＜t≤3，
故要求的实数t的取值范围为（1，3]．

点评：本题主要求函数的奇偶性、单调性，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．