Question

函数f（x）=

(x-a)2，x≤0 x+ 1 x +a，x＞0

，若当x∈[-|a|-1，|a|]时，f（x）≥f（0）恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：对a讨论：①当a=0时，②当a＜0时，③当a＞0时，分别求出f（x）的最小值，注意运用二次函数的单调性和对勾函数的单调性以及顶点，由f（0）不大于f（x）的最小值，解不等式即可得到．

解答： 解：①当a=0时，f（x）=

x2，x≤0 x+ 1 x ，x＞0

，
当x∈[-1，0]时，f（x）的最小值为0，f（0）=0，
f（x）≥f（0）恒成立；
②当a＜0时，当x∈[-|a|-1，0]时，f（x）=（x-a）²的最小值为0，此时x=a，
当x∈（0，|a|]时，f（x）=x+

1

x

+a，
若a＜-1，则f（x）的最小值为2+a，此时x=1，
若-1≤a＜0，则f（x）的最小值为|a|+

1

|a|

+a=

1

|a|

，此时x=|a|．
又f（0）=a²，由于f（x）≥f（0）恒成立，则若f（x）的最小值为0，显然不成立，
若f（x）的最小值为2+a，则2+a≥a²，解得-1≤a≤2这与a＜-1矛盾，不成立，
即有a＜0不成立；
③当a＞0时，若0＜a≤2时，
当x∈[-|a|-1，0]时，f（x）=（x-a）²的最小值为a²，此时x=0，
当x∈（0，|a|]时，f（x）=x+

1

x

+a的最小值为2a+

1

a

（0＜a≤1）或2+a（1＜a≤2），
则当0＜a≤2时，a²-2a-

1

a

＜0，a²-2-a＜0，即有f（x）的最小值为a²，
而f（0）=a²，则f（x）≥f（0）恒成立；
若a＞2，则当x∈[-|a|-1，0]时，f（x）=（x-a）²的最小值为a²，此时x=0，
当x∈（0，|a|]时，f（x）=x+

1

x

+a的最小值为2+a，
则a²-2-a＞0，即有f（x）的最小值为2+a，
而f（0）=a²，则f（x）≥f（0）不成立．
综上可得，a的取值范围为[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评：本题考查分段函数的综合运用，主要考查二次函数的最值以及对勾函数的最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题和易错题．