Question

下列说法正确的是

 

（填上你认为正确选项的序号）
①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函数；
②函数y=-2sin（2x+

π

3

）在区间（0，

π

12

）上是增函数；
③函数y=cos²x-sin²x的最小正周期为π；
④函数y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一个对称中心是（

π

2

，0）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①，利用诱导公式可知函数y=-sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函数，可判断①；
②，x∈（0，

π

12

）⇒（2x+

π

3

）∈（

π

3

，

π

2

），利用正弦函数的单调性质可知函数y=2sin（2x+

π

3

）在区间（0，

π

12

）上是增函数，从而可判断②；
③，利用余弦函数的周期性可知函数y=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期为π，可判断③；
④，利用正切函数的对称性，由

x

2

+

π

4

=

kπ

2

（k∈Z）得：x=kπ-

π

2

（k∈Z），再对k赋值，可判断④．

解答： 解：对于①，函数y=-sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函数，故①正确；
对于②，当x∈（0，

π

12

）时，（2x+

π

3

）∈（

π

3

，

π

2

），故函数y=2sin（2x+

π

3

）在区间（0，

π

12

）上是增函数，函数y=-2sin（2x+

π

3

）在区间（0，

π

12

）上是减函数，故②错误；
对于③，函数y=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期为T=

2π

2

=π，故③正确；
对于④，由

x

2

+

π

4

=

kπ

2

（k∈Z）得：x=kπ-

π

2

（k∈Z），
所以函数y=2tan（

x

2

+

π

4

）的对称中心是（kπ-

π

2

，0），当k=1时，（

π

2

，0）为函数y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一个对称中心，故④正确．
综上所述，以上说法正确的是①③④，
故答案为：①③④．

点评：本题考查正弦函数与余弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，熟练掌握正弦、余弦函数的图象与性质是关键，属于中档题．