Question

记F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），则F（x，y）的最小值是（　　）

• A、

  12

  5

• B、

  16

  5

• C、

  18

  5

• D、4

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,导数的综合应用

分析：F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），表示点A（x，

x

3

），B（y，-

3

y

），两点之间距离的平方，点A的轨迹方程是y=

x

3

，点B的轨迹方程是y=-

3

x

，求出平行于y=

x

3

与y=-

3

x

相切的直线方程为y=

x

3

+b，即可得出结论．

解答： 解：F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），表示点A（x，

x

3

），B（y，-

3

y

），两点之间距离的平方，
点A的轨迹方程是y=

x

3

，点B的轨迹方程是y=-

3

x

，
设平行于y=

x

3

与y=-

3

x

相切的直线方程为y=

x

3

+b，
由y=-

3

x

，可得y′=

3

x2

，
令

3

x2

=

1

3

，可得x=3或-3，
∴y=-1或1，
代入y=

x

3

+b，可得b=-2或2，
∴两点之间距离的最小值是

2

1 9 +1

，
∴F（x，y）的最小值是

18

5

．
故选：C．

点评：本题考查曲线的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，正确理解F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），表示点A（x，

x

3

），B（y，-

3

y

），两点之间距离的平方是关键．