Question

如图，将正△ABC分割成16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点的数之和S=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理,等差数列的前n项和

专题：综合题,推理和证明

分析：根据等差中项法分别求解n=2，3，4时的值，由此归纳出f（n）的值即可．

解答： 解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）
当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2=

3×4

6

，
当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，
同样根据等差中项可得，M的数为

1

3

，所以f（3）=3+

1

3

=

4×5

6

，
依次可知结论为f（n）=

n(n+1)

6

，那么可知顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，
则n=5时，所有顶点的数之和S=5，
故答案为：5．

点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．