Question

已知函数f（x）=e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R）．设函数h（x）=af（x）-g （x），当a在区间[1，2]内变化时，若函数y=h（x），x∈[0，3]有零点，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：综合题,导数的综合应用

分析：根据根的存在性定理知 h（x）在[0，3]上的最大值与最小值要异号，从而找到m关于a的关系，得到m的最值．

解答： 解：∵由h（x）=a（e^x-2x）-x²-m，
∴可得h′（x）=a（e^x-2）-2x，
当x∈[0，ln2]时，e^x-2＜0，
∴x∈[0，ln2]时，y=h′（x）＜0，
故?a∈[1，2]，h（x）在x∈[0，ln2]为单调递减函数，
故函数h（x）_max=h（0）=a-m；
当x∈[ln2，3]时，
∵e^x-2＞0，a∈[1，2]，
∴h′（x）的值在区间[（e^x-2）-2x，2（e^x-2）-2x]上变化，
此时，对于函数 M（x）=2（e^x-2）-2x，存在x₀∈[ln2，3]，M（x）在x∈[ln2，x₀]单调递减，在x∈[x₀，3]单调递增，
∴h（x）在x∈[ln2，3]的最大值为h（3）=a（e³-6）-9-m，
∵a∈[1，2]，h（3）-h（0）=a（e³-7）-9＞0，
∴h（3）＞h（0），
因此h（x）的最大值是h（3）=a（e³-6）-9-m，
故当函数y=h（x）有零点时，a（e³-6）-9-m≥0
∵a∈[1，2]，m≤2（e³-6）-9，
∴实数m的最大值是m=2（e³-6）-9=2e³-21．

点评：本题考查了函数与方程的关系，以及利用导数讨论函数的最值．本题的难点是二元函数的转化问题，在二元函数转化时要先固定一个变量．求解本题要熟练掌握导数求最值的方法．