Question

求和：

1

4×12-1

+

1

4×22-1

+

1

4×32-1

+…+

1

4n2-1

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，把要求和的每一项裂项后求和得答案．

解答： 解：∵

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

4×12-1

+

1

4×22-1

+

1

4×32-1

+…+

1

4n2-1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了裂项相消法求数列的前n项和，涉及等差数列相邻两项乘积的倒数数列的求和问题，常采用裂项相消法求和，是中档题．