Question

函数f（x）=x+x³（x∈R）当0＜θ＜

π

2

时，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1]
• B、（-∞，1）
• C、（1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先判断函数的奇偶性，然后再结合单调性将给的不等式化归为两个函数值的大小比较问题，从而构造出关于θ的不等式恒成立，然后分离参数求a的取值范围．

解答： 解：因为f'（x）=1+3x²＞0，故f（x）=x+x³（x∈R）在R上单调递增，且为奇函数，
所以由f（asinθ）+f（1-a）＞0得f（asinθ）＞f（a-1），
从而asinθ＞a-1，即当0＜θ＜

π

2

时，a＜-

1

sinθ-1

恒成立，所以a≤1．
故选：A．

点评：本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答．