Question

【题目】已知p：方程x2＋(m2－6m)y2＝1表示双曲线，q：函数f(x)＝x3－mx2＋(2m＋3)x在(－∞，＋∞)上是单调增函数．

（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；

（2）若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(0，6)；（2）[－1，0]∪(3，6)

【解析】

（1）由曲线C：x2+（m2﹣6m）y2＝1是双曲线，列出不等式求解即可．（2）由函数f（x）x3﹣mx2+（2m+3）x是单调增函数，通过（x）＝x2﹣2mx+m+3≥0恒成立．推出△≤0，解得m的范围，利用复合命题的真假关系，转化求解即可．

（1）由题意知，曲线C：x2＋(m2－6m)y2＝1是双曲线，

所以m2－6m＜0．解得0＜m＜6，即m的取值范围为(0，6)．

（2）由函数f(x)＝x3－mx2＋(2m＋3)x是单调增函数，

可知f ′(x)＝x2－2mx＋2m＋3≥0恒成立．

故△＝－4(2m＋3)≤0，解得－1≤m≤3．

因为p或q是真命题，p且q是假命题，所以p真q假或者p假q真．

因此

故m的取值范围是[－1，0]∪(3，6)．