Question

10．已知A，B，C三点在曲线$y=\sqrt{x}$上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m的值为（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出A、B、C三点的坐标，求出AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的m值．

解答 解：由题意知，A（1，1），B（m，$\sqrt{m}$），C（4，2），
直线AC所在方程为x-3y+2=0，
点B到该直线的距离为d=$\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AC|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•$\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{2}$|m-3$\sqrt{m}$+2|=$\frac{1}{2}$|（$\sqrt{m}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$|
∵m∈（1，4），
∴当$\sqrt{m}$=$\frac{3}{2}$时，S_△ABC有最大值，此时m=$\frac{9}{4}$．
故选A．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，三角形的面积的最值的求法，考查计算能力．