Question

20．若函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+x•f'（x）＜0成立．已知a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃9）•f（log₃9），则a、b、c的大小关系是b＞a＞c．

Answer 1

分析 由题意可知f（x）为定义域内的偶函数，构造函数g（x）=xf（x），由其导函数在x∈（-∞，0）时小于0，可知函数在（-∞，0）上为减函数，又g（x）为奇函数，可知其在（0，+∞）上为减函数，再由函数单调性得答案．

解答 解：∵函数y=f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）为定义域内的偶函数，
当x∈（-∞，0）时，f（x）+x•f'（x）＜0，设g（x）=xf（x），
则g′（x）=f（x）+x•f'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上为减函数，则在（0，+∞）上为减函数，
∵2¹＞2^0.2＞2⁰=1，0＜log_π3＜log_ππ=1，log₃9=2，
∴0$＜lo{g}_{π}3＜{2}^{0.2}＜lo{g}_{3}9$，
则g（log_π3）＞g（2^0.2）＞g（log₃9）．
故答案为：b＞a＞c．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，是中档题．