Question

15．长方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，AB=AD=2，A₁A=2$\sqrt{6}$，M为棱C₁C的中点，C₁D与D₁C交于点N，求证：AM⊥A₁N．

Answer 1

分析 两条异面直线垂直的证明，通过平行相交，求角是90°即可．或者是建立空间直角坐标系，用向量进行计算．

解答 解法一：
解：由题意：M为棱C₁C的中点，C₁D与D₁C交于点N，即N是C₁D，D₁C的中点．
取A₁B₁的中点E，连接ME，MN．
∵MN${\;}_{=}^{∥}$CD，A₁E${\;}_{=}^{∥}$AB，AB=CD．
∴平面MNA₁E是平行四边形，则有EM${\;}_{=}^{∥}$A₁N；
所以：AM与A₁N所成的角是∠AME．
取A₁A的中点F，连接NF，由A₁B₁C₁D₁-ABCD是长方体：
∴A₁FN是直角三角形，A₁F=$\frac{1}{2}$A₁A=$\sqrt{6}$，FN=$\sqrt{（BC）^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴A₁N=EM=$\sqrt{11}$ 
AE=$\sqrt{{（A}_{1}A）^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}=5$
AM=$\sqrt{（A{C）}^{2}+（\frac{1}{2}A{A}_{1}）}=\sqrt{14}$
在△AME中，∵AE²=AM²+EM²，
∴△AME是直角三角形，∠AME=90°，即AM与A₁N所成的角是90°．
故AM⊥A₁N，得证．
解法二：
解：以A为原点，以$\left\{{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{A{A_1}}}\right\}$为正交基底建立空间直角坐标系，
∵AB=AD=2，A₁A=2$\sqrt{6}$，M为棱C₁C的中点，C₁D与D₁C交于点N，即中点．
则有A（0，0，0），$M（2，2，\sqrt{6}）$，${A_1}（0，0，2\sqrt{6}）$，$N（1，2，\sqrt{6}）$
∴$\overrightarrow{AM}=（2，2，\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{{A_1}N}=（1，2，-\sqrt{6}）$，
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{{A_1}N}=2×1+2×2+\sqrt{6}×（-\sqrt{6}）=0$，
∴AM⊥A₁N

点评 本题考查了两条异面直线垂直的证明，常用方法是通过平行相交，求角是90°即可．或者证明其中一条直线垂直另外一条直线所在的平面．或者是建立空间直角坐标系，用向量进行计算．属于基础题．