Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-2ax+1（x≤-1）}\\{（a-1）x+4a（x＞-1）}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，0）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 分别求出x＞-1时或x≤-1时函数为减函数的a的取值范围，再根据在R上为减函数得到5a+1＜3a-1，解得即可．

解答 解：当x＞-1时，f（x）=（a-1）x+4a在（-1，+∞）为减函数，
则a-1＜0，解得a＜1，此时f（x）_max=f（-1）=5a-1，
当x≤-1时，f（x）=ax²-2ax+1在（-∞，-1]为减函数，其对称轴为x=1，
则a＞0，此时f（x）_min=f（-1）=3a+1，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-2ax+1（x≤-1）}\\{（a-1）x+4a（x＞-1）}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）内是减函数，
∴5a+1＜3a-1，
解得a＜1，
综上所述a的取值范围为（0，1）．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数和函数的单调性以及参数的取值范围，属于中档题．