Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（

1

2

，

1

2

）且被P点平分的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点为R（x，y），则x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减得

x1-y2

y1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2 )

=-

x

2y

，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（2）设直线方程为y-1=k（x-2），设两交点分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），则

x3 2

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1，两式相减得

(x3+x4)(x3-x4)

2

+ (y3 +y4)(y3-y4)=0，故

x3+x4

2

+

(y3+y4)(y3-y4)

x3-x4

=0，令中点坐标为（x，y），则x+2y•

y3-y4

x3-x4

=0，由此能求出l被截得的弦的中点轨迹方程．
（3）设过点P（

1

2

，

1

2

）的直线与

x2

2

+y2=1交于E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），由P（

1

2

，

1

2

）是EF的中点，知x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，把E（x₅，y₅），F（x₆，y₆）代入与

x2

2

+y2=1，得k=

y5-y6

x5-x6

=-

1

2

，由此能求出过点P（

1

2

，

1

2

）且被P点平分的弦所在的直线方程．

解答：解：（1）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 的中点为R（x，y），
则x12+2y12=2，x22+2y22=2，
两式相减并整理可得

x1-x2

y1-y2

=

2(y1+y2)

x1+x2

=-

x

2y

，①
将

y1-y2

x1-x2

=2代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．
（2）可设直线方程为y-1=k（x-2）（k≠0，否则与椭圆相切），
设两交点分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
则

x3 2

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1，两式相减得

(x3+x4)(x3-x4)

2

+ (y3 +y4)(y3-y4)=0，
显然x₃≠x₄（两点不重合），
故

x3+x4

2

+

(y3+y4)(y3-y4)

x3-x4

=0，
令中点坐标为（x，y），
则x+2y•

y3-y4

x3-x4

=0，
又（x，y）在直线上，所以

y-1

x-2

=k，
显然

y3-y4

x3-x4

=k，
故x+2y•k=x+2y•

y-1

x-2

=0，即所求轨迹方程为x²+2y²-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）．
（3）设过点P（

1

2

，

1

2

）的直线与

x2

2

+y2=1交于E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），
∵P（

1

2

，

1

2

）是EF的中点，
∴x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，
把E（x₅，y₅），F（x₆，y₆）代入与

x2

2

+y2=1，
得

x52+2y52=2 x62+2y62=2

，
∴（x₅+x₆）（x₅-x₆）+2（y₅+y₆）（y₅-y₆）=0，
∴（x₅-x₆）+2（y₅-y₆）=0，
∴k=

y5-y6

x5-x6

=-

1

2

，
∴过点P（

1

2

，

1

2

）且被P点平分的弦所在的直线方程：y-

1

2

=-

1

2

(x-

1

2

)，
即2x+4y-3=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．