Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=n （3-b_n），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

（1）因为n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，所以a₁=1．
因为S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2．
两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n．
因为a_n≠0，所以

an+1

an

=

1

2

（ n∈N^*）．
所以数列{a_n}是首项a₁=1，公比为

1

2

的等比数列，a_n=(

1

2

)n-1（ n∈N^*）．
（2）因为b_n+1=b_n+a_n（ n=1，2，3，…），所以b_n+1-b_n=(

1

2

)n-1．从而有b₂-b₁=1，b₃-b₂=

1

2

，b₄-b₃=(

1

2

)2，…，b_n-b_n-1=(

1

2

)n-2（ n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得b_n-b₁=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2-2(

1

2

)n-1．
又因为b₁=1，所以b_n=3-2(

1

2

)n-1（ n=1，2，3，…）．
（3）因为c_n=n （3-b_n）=2n(

1

2

)n-1，
所以T_n=2[(

1

2

)0+2(

1

2

)+3(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n(

1

2

)n-1]．   ①

1

2

Tn=2[(

1

2

)1+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n]．       ②
①-②，得

1

2

Tn=2[(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-2n(

1

2

)n．
故T_n=4

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-4n(

1

2

)n=8-

8

2n

-4n(

1

2

)n=8-(8+4n)

1

2n

（ n=1，2，3，…）．