Question

已知-π＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

，求下列各式的值．
（1）sinx-cosx；
（2）3sin²x-2sinxcosx+cos²x．

Answer 1

分析：（1）由-π＜x＜0结合条件可知x是第四象限角，从而sinx＜0，cosx＞0，由此可知sinx-cosx＜0．再利用平方关系式求解（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²-4sinxcosx）即可求得答案．
（2）利用条件及（1）的结论得到tanx的表达式，再利用sin²x+cos²x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos²x，得到tanx的表达式，即可求出结果．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=

1

5

，∴x不可能是第三象限角，
∴-

π

2

＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，则sinx-cosx＜0，
又sinx+cosx=

1

5

，平方后得到 1+sin2x=

1

25

，
∴sin2x=-

24

25

∴（sinx-cosx ）²=1-sin2x=

49

25

，
又∵sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=-

7

5

．
（2）由于sinx+cosx=

1

5

及sinx-cosx=-

7

5

．
得：sinx=-

3

5

，cosx=

4

5

．
∴tanx=-

3

4

，
∴3sin2x-2sinxcosx+cos2x=

3sin2x-2sinxcosx+cos2x

sin2x+cos2x

=

3tan2x-2tanx+1

tanx+1

=

67

25

．

点评：本题利用公式（sinx-cosx）²=（sinx+cosx）²-4sinxcosx．求解时需要开方，一定要注意正负号的取法，注意角x的范围！本题是基础题，考查三角函数的表达式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．