Question

已知函数f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)．
（1）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的单调递增区间和值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，f（A）=-1，且b=1△ABC的面积S=

3

，求边a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数 在[0，

π

2

]上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域．
（2））由于f（A）=-1，求得A=

π

3

又S=

1

2

×1×c×sin600=

3

求得c=4最后由余弦定理得a值即可．

解答：解：（1）f(x)=2cosx•cosx-2

3

sinx•cosx=1-(

3

sin2x-cos2x)=1-2sin(2x-

π

6

)（2分）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z，
又[0，

π

2

]∴单调增区间为[

π

3

，

π

2

]．（4分）
由-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1∴-1≤f（x）≤2∴f（x）∈[-1，2]（6分）
（2）∵f（A）=-1，∴A=

π

3

，（8分）
又S=

1

2

×1×c×sin600=

3

，∴c=4（10分）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=13a=

13

（12分）

点评：本题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点．