Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），动点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记动点P的轨迹为S，过点F₂作直线l与轨迹S交于P、Q两点，过P、Q作直线x=

1

2

的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ=|AP|•|BQ|．
（Ⅰ）求轨迹S的方程；
（Ⅱ）设点M（-1，0），求证：当λ取最小值时，△PMQ的面积为9．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹S是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，结合焦点坐标，可求轨迹S的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，结合韦达定理，及λ=|AP|•|BQ|，考虑直线斜率不存在，确定λ的最小值为

9

4

，从而可求△PMQ的面积．

解答：（Ⅰ）解：由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹S是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支．…（1分）
由c=2，2a=2，∴b²=3．               …（3分）
故轨迹S的方程为x²-

y2

3

=1 （x≥1）…（5分）
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率存在时，…（6分）
设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0       …（7分）
∴

△＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3．…（9分）
∵λ=|AP|•|BQ|=|x1-

1

2

||x2-

1

2

|=

1

4

（2x₁-1）（2x₂-1）=

1

4

[4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1]=x₁x₂-

x1+x2

2

+

1

4

       …（11分）
=

4k2+3

k2-3

-

2k2

k2-3

+

1

4

=

2k2+3

k2-3

+

1

4

=

9

4

+

9

k2-3

＞

9

4

．  …（12分）
当斜率不存在时，|AP|•|BQ|=

9

4

，∴λ的最小值为

9

4

．…（13分）
此时，|PQ|=6，|MF₂|=3，S_△PMQ=

1

2

||MF₂|•|PQ|=9．…（14分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．