【题目】已知函数
(1)当a=1时,求函数f(x)在x=e﹣1处的切线方程;
(2)当 时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)若x>0,求函数 的最大值.
【答案】
(1)解:a=1时,函数f(x)=ln(1+x)﹣ ,
f′(x)= ﹣ = ,f′(e﹣1)= ,
又f(e﹣1)= ,
∴a=1时,函数f(x)在x=e﹣1处的切线方程是:
y﹣ = (x﹣e+1)
(2)解:由题意得:函数f(x)的定义域是(﹣1,+∞),
且f′(x)= ,
<a≤2时,则2a﹣3>0,
若﹣1<x<0或x>2a﹣3,则f′(x)>0,若0<x<2a﹣3,则f′(x)<0,
∴f(x)在区间(﹣1,0)(2a﹣3,+∞)递增,在(0,2a﹣3)递减
(3)解:显然g(x)=g( ),令φ(x)=lng(x),
因此φ(x)在(0,+∞)上的最大值等于其在(0,1)上的最大值,
φ′(x)=(1﹣ )ln(1+x)+(x+ ) ﹣lnx﹣1,
设h(x)=(1﹣ )ln(1+x)+(x+ ) ﹣lnx﹣1,
h′(x)= ,
由(2)得,当a=2时,f(x)在区间(0,1]递减,
则f(x)=ln(1+x)﹣ <f(0)=0,h′(x)<0,
故函数h(x)在区间(0,1]递减,于是h(x)≥h(1)=0,
从而函数φ(x)在区间(0,1]递增,
进而φ(x)≤φ(1)=2ln2,
∵φ(x)=lng(x),
∴函数g(x)的最大值是4
【解析】(1)求出函数的导数,计算f′(e﹣1),f(e﹣1)的值,求出切线方程即可;(2)求出函数的导数,根据a的范围求出函数的单调区间即可;(3)令φ(x)=lng(x),根据φ(x)在(0,+∞)上的最大值等于其在(0,1)上的最大值,求出φ(x)的最大值,从而求出g(x)的最大值即可.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】一个口袋中装有大小、材质都相同的个红球,个黑球和个白球,从口袋中一次摸出一个球,连续摸球两次.
()如果摸出后不放回,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;
()如果摸出后放回,求恰有一次摸到黑球的概率.
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【题目】如图所示,在等腰梯形中,,,,点为的中点.将沿折起,使点到达的位置,得到如图所示的四棱锥,点为棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)若平面平面,求三棱锥的体积.
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【题目】已知数列的首项为1,且,数列满足,,对任意,都有.
(1)求数列、的通项公式;
(2)令,数列的前项和为.若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,方程f2(x)+mf(x)=0(m∈R)有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣ ,0)
C.(﹣ ,+∞)
D.(0, )
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】执行如图所示的程序框图后,记“输出是好点”为事件A.
(1)若为区间内的整数值随机数,为区间内的整数值随机数,求事件A发生的概率;
(2)若为区间内的均匀随机数,为区间内的均匀随机数,求事件A发生的概率.
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【题目】要想得到函数y=sin2x+1的图象,只需将函数y=cos2x的图象( )
A.向左平移 个单位,再向上平移1个单位
B.向右平移 个单位,再向上平移1个单位
C.向左平移 个单位,再向下平移1个单位
D.向右平移 个单位,再向上平移1个单位
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