Question

【题目】已知函数
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程；
（2）当 时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若x＞0，求函数 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，函数f（x）=ln（1+x）﹣ ，

f′（x）= ﹣ = ，f′（e﹣1）= ，

又f（e﹣1）= ，

∴a=1时，函数f（x）在x=e﹣1处的切线方程是：

y﹣ = （x﹣e+1）

（2）解：由题意得：函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），

且f′（x）= ，

＜a≤2时，则2a﹣3＞0，

若﹣1＜x＜0或x＞2a﹣3，则f′（x）＞0，若0＜x＜2a﹣3，则f′（x）＜0，

∴f（x）在区间（﹣1，0）（2a﹣3，+∞）递增，在（0，2a﹣3）递减

（3）解：显然g（x）=g（ ），令φ（x）=lng（x），

因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，

φ′（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，

设h（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，

h′（x）= ，

由（2）得，当a=2时，f（x）在区间（0，1]递减，

则f（x）=ln（1+x）﹣ ＜f（0）=0，h′（x）＜0，

故函数h（x）在区间（0，1]递减，于是h（x）≥h（1）=0，

从而函数φ（x）在区间（0，1]递增，

进而φ（x）≤φ（1）=2ln2，

∵φ（x）=lng（x），

∴函数g（x）的最大值是4

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣1），f（e﹣1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据a的范围求出函数的单调区间即可；（3）令φ（x）=lng（x），根据φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出φ（x）的最大值，从而求出g（x）的最大值即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．