Question

4．直线y=x是曲线y=x³+3x²+ax的切线，则a的值1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，写出切线方程，结合切点既在曲线上又在切线上联立方程组求解．

解答 解：设切点P（x₀，x₀），
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，
∴切线的斜率为1．
∵y=x³-3x²+ax，
∴y′${|}_{x={x}_{0}}$=3x₀²-6x₀+a=1  ①，
∵点P在曲线上，
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀ ②，
由①，②联立得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+a-1=0}\end{array}\right.$  ③
或$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}-3{x}_{0}+a-1=0}\\{3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+a-1=0}\end{array}\right.$  ④．
由③得，a=1；
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀，解得x₀=0或$\frac{3}{2}$，把x₀的值代入④中，得到a=1或$\frac{13}{4}$．
综上所述，a的值为1或$\frac{13}{4}$．
故答案为：1或$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键在于设出切点，考查运算能力，是中档题．