Question

17．在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=$\frac{5}{7}$，cosB=$\frac{1}{5}$，BC=5．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角三角函数关系式由cosA=$\frac{5}{7}$，cosB=$\frac{1}{5}$，可求sinA，sinB的值，从而由正弦定理得即可求AC的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可求AB的值，可求$BD=\frac{1}{2}AB=3$，由余弦定理结合已知即可求得CD的值．

解答 （本题13分）文科
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，$cosA=\frac{5}{7}$，$cosB=\frac{1}{5}$，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$，$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．…（2 分）
由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，…（4 分）
即$AC=\frac{BC•sinB}{sinA}=\frac{{5×\frac{{2\sqrt{6}}}{5}}}{{\frac{{2\sqrt{6}}}{7}}}=7$．…（6 分）
（Ⅱ）在△ABC中，AC=7，BC=5，$cosB=\frac{1}{5}$，
由余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB，…（8 分）
即$49=A{B^2}+25-2AB×5×\frac{1}{5}$，
整理得AB²-2AB-24=0，解得AB=6．…（10分）
∵在△BCD中，$BD=\frac{1}{2}AB=3$，BC=5，$cosB=\frac{1}{5}$，
∴由余弦定理得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cosB，…（11分）
即$C{D^2}=9+25-2×3×5×\frac{1}{5}=28$．
∴$CD=2\sqrt{7}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本知识的考查．