Question

【题目】上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A，B，O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：
（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；
（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，

∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，

∴AH=BH=x

在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，

∴x= = =18.86

（2）解：在△BOH中，∠BOH=120°，

∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，

由 = ，

得OH= =2.28，

∴∠OPH=arctan =arctan =6.89°，

∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8°

【解析】（1）由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x= = =18.86；（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知： = ，OH= =2.28，则倾斜角∠OPH=arctan =arctan =6.89°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．