【题目】如图,已知正方形OABC边长为3,点M,N分别为线段BC,AB上一点,且2BM=MC,AN=NB,P为△BNM内一点(含边界),设 (λ,μ为实数),则
的最大值为
【答案】
【解析】解:如图,以OA为x轴,以OC为y轴,建立直角坐标系,则O(0,0),A(3,0),C(0.3),B(3,3),
∵2BM=MC,AN=NB,
∴M(1,3),N(3, ),
设P(x,y),
∵ (λ,μ为实数),
∴ =λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ),
∴ ,即
,
∴λ =
﹣
=
(3x﹣y),
令z=3x﹣y,即y=3x﹣z,
由M(1,3),N(3, ),得到直线MN的方程为3x+4x﹣15=0,
则x,y满足的区域为 ,如图所示,
当目标函数z=3x﹣y,过点N(3, )时,Z最大,
则zmax=3×3﹣ =9﹣
=
,
∴(λ )max=
×
=
所以答案是:
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程和函数f(x)的极值:
(2)若对任意x1 , x2∈[a,+∞),都有f(x1)﹣f(x2)≥﹣ 成立,求实数a的最小值.
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【题目】已知函数f(x)= sin2x+sinxcosx﹣
(1)求函数y=f(x)在[0, ]上的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求证:存在无穷多个互不相同的整数x0 , 使得g(x0)>
.
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【题目】设a,b是不相等的两个正数,且blna﹣alnb=a﹣b,给出下列结论:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ +
>2.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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【题目】已知直线l的方程为y=x+2,点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点,点A是抛物线上异于点P的点,直线AP与直线l交于点Q,过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B.
(Ⅰ)求点P的坐标;
(Ⅱ)证明直线AB恒过定点,并求这个定点的坐标.
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【题目】如图在棱锥P﹣ABCD中,ABCD为矩形,PD⊥面ABCD,PB=2,PB与面PCD成45°角,PB与面ABD成30°角.
(1)在PB上是否存在一点E,使PC⊥面ADE,若存在确定E点位置,若不存在,请说明理由;
(2)当E为PB中点时,求二面角P﹣AE﹣D的余弦值.
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【题目】上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高:如图,记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A,使仰角k∠HAP=45°,过O点与OA成120°的地面上选B点,使仰角∠HPB=45°(点A,B,O都在同一水平面上),此时测得∠OAB=27°,A与B之间距离为33.6米.试求:
(1)塔高(即线段PH的长,精确到0.1米);
(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角,精确到0.1°).
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【题目】由n(n≥2)个不同的数构成的数列a1 , a2 , …an中,若1≤i<j≤n时,aj<ai(即后面的项aj小于前面项ai),则称ai与aj构成一个逆序,一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3,2,1,由于在第一项3后面比3小的项有2个,在第二项2后面比2小的项有1个,在第三项1后面比1小的项没有,因此,数列3,2,1的逆序数为2+1+0=3;同理,等比数列 的逆序数为4.
(1)计算数列 的逆序数;
(2)计算数列 (1≤n≤k,n∈N*)的逆序数;
(3)已知数列a1 , a2 , …an的逆序数为a,求an , an﹣1 , …a1的逆序数.
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【题目】秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为4,3,则输出v的值为( )
A.20
B.61
C.183
D.548
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