Question

【题目】已知函数f（x）= sin2x+sinxcosx﹣
（1）求函数y=f（x）在[0， ]上的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0 ， 使得g（x0）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin2x+sinxcosx﹣ = = =sin（2x﹣ ）；

因为2kπ≤2x﹣ ≤2kπ ，∴kπ ≤x≤kπ ，k∈Z，

所以函数y=f（x）在[0， ]上的单调递增区间为[0， ]

（2）解：将函数向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sinx，g（x0）＞ ．即sinx＞ ，

所以2kπ ＜x＜2kπ ，k∈Z，

则（2kπ ）﹣（2k ）= ＞1，所以对任意的整数k都存在x0∈（2kπ ，2kπ ），k∈Z，

即存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞

【解析】（1）化简三角函数式，利用正弦函数的单调性求单调区间；（2）利用三角函数图象的变换规律得到函数y=g（x），然后证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数，以及对函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的理解，了解图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．