Question

【题目】已知函数f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+ 的导数，e为自然对数的底数）g（x）= +ax+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及极值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得：f′（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，令x=1，得：f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，
即f（0）=1，
∵f（0）= ，
∴f′（1）=e，
从而f（x）=ex﹣x+ x2 ，
∴f′（x）=ex+x﹣1，
又f′（x）=ex+x﹣1在R递增，且f′（0）=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，
故x=0为极值点，
∴f（0）= ；
（Ⅱ）f（x）≥ x2+ax+bh（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，
得：h′（x）=ex﹣（a+1），
①当a+1≤0时，h′（x）＞0，
故y=h（x）在x∈R上递增，
x∈﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾，
②当a+1＞0时，h′（x）＞0，
∴x＞ln（a+1），h′（x）＜0，
∴x＜ln（a+1），
故x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，
即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b，
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0），
令F（x）=x3﹣x2lnx（x＞0），则F′（x）=x（1﹣2lnx），
∴F′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，F′（x）＜0，解得：x＞ ，
x= 时，F（x）max= ，
即当a= ﹣1，b= 时，
（a+1）b的最大值为 ，
∴ 的最大值为：
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出f′（1）=e，求出函数的导数，得到函数的单调性求出f（0）的值即可；（Ⅱ）令h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出 的最大值即可．
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和函数的极值与导数，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．