Question

【题目】由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1 ， a2 ， …an中，若1≤i＜j≤n时，aj＜ai（即后面的项aj小于前面项ai），则称ai与aj构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列 的逆序数为4．
（1）计算数列 的逆序数；
（2）计算数列 （1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；
（3）已知数列a1 ， a2 ， …an的逆序数为a，求an ， an﹣1 ， …a1的逆序数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}为单调递减数列，∴逆序数为
（2）解：当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．

当n为偶数时：

∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．

当k为奇数时，逆序数为 ；

当k为偶数时，逆序数为

（3）解：在数列a1，a2，…an中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，所以在数列an，an﹣1，…a1中，

逆序数为

【解析】（1）由{an}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+…+1．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n ． 可得逆序数．（3）在数列a1 ， a2 ， …an中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，可得在数列an ， an﹣1 ， …a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣pn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．