Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A1 ， C1 ， F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则A1（2，0，1），C1（0，2，1），E（2，1，0），F（1，2，0）．D1（0，0，1），
∴ =（﹣1，1，0）， =（﹣2，2，0）．
∴ =2 ．∵A1 ， C1 ， E，F四点不共线，
∴A1C1∥EF，
∴A1 ， C1 ， F，E四点共面．
=（0，1，﹣1）， =（0，﹣2，1）．
设平面A1C1FE的法向量为 =（x，y，z），则 ．
∴ ，令z=1得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = =﹣ ．
∴直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为 ．

【解析】以D为原点建立坐标系，求出 和 的坐标，利用向量共线定理得出四点共面，求出 和平面A1C1FE的法向量 ，则直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为|cos＜ ， ＞|．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．