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已知直线l分别与x轴、y轴交于A(a,0),B(0,b)点,且和圆C:x2+y2-2x-2y+1=0相切,(其中a>2,b>2).
(1)求a,b应满足什么条件;      
(2)求线段AB长度的最小值.
分析:(1)由题意,直线AB的方程为
x
a
+
y
b
=1
,圆C:x2+y2-2x-2y+1=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-1)2=1,根据直线和圆C:x2+y2-2x-2y+1=0相切,利用圆心到直线的距离等于半径,即可得出结论;
(2)由(1),结合两点间的距离公式,利用基本不等式,求线段AB长度的最小值.
解答:解:(1)由题意,直线AB的方程为
x
a
+
y
b
=1

圆C:x2+y2-2x-2y+1=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-1)2=1.
∵直线和圆C:x2+y2-2x-2y+1=0相切,
|
1
a
+
1
b
-1|
1
a2
+
1
b2
=1,
化简可得ab-2a-2b+2=0;
(2)ab-2a-2b+2=0可化为(a-2)(b-2)=2,
设a-2=m,b-2=n,则a=2+m,b=2+n,m>0,n>0,mn=2.
|AB|=
a2+b2
=
(2+m)2+(2+n)2
=
8+m2+n2+4(m+n)
8+2mm+8
mn
=
12+8
2
=2+2
2

当且仅当m=n时,取等号,此时线段AB长度的最小值为2+2
2
点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用基本不等式是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.
(1)求证:(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)求△AOB面积的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,则称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比.已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
以抛物线y2=4
3
x
的焦点为一个焦点,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)若椭圆C2与椭圆C1相似,且相似比为2,求椭圆C2的方程.
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任一点,若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
1
mn
y
异于原点的交点,证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)已知直线l:y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直线l上,B,D在曲线Cb上,若存在求出函数f(b)=SABCD的解析式及定义域,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖北模拟)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2
2
3-2
2

(1)求椭圆的方程;
(2)如果直线x=t(t∈R)与椭圆相交于A,B,若C(-3,0),D(3,0),证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上;
(3)过点Q(1,0)作直线l(与x轴不垂直)与椭圆交于M、N两点,与y轴交于点R,若
RM
MQ
RN
NQ
,证明:λ+μ为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
(1)已知椭圆C1
x2
4
+y2=1
C2
x2
16
+
y2
4
=1
判断C2与C1是否相似,如果相似则求出C2与C1的相似比,若不相似请说明理由;
(2)写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程,并列举相似椭圆之间的三种性质(不需证明);
(3)已知直线l:y=x+1,在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称,若存在,则求出函数f(b)=|MN|的解析式.

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