【题目】已知函数f(x)=x3+x2+mx在x=1处有极小值,
g(x)=f(x)﹣x3﹣x2+x﹣alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,对任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)单调增区间为(﹣∞,﹣2),(1,+∞),单调减区间为(﹣2,1);(2)
【解析】试题分析:(1)由极值定义得f′(1)=6+m=0,解得m值,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定单调区间(2)先等价转化不等式:设0<x1<x2,g(x1)﹣x1<g(x2)﹣x2.再构造函数h(x)=g(x)﹣x,转化为h(x)在(0,+∞)为增函数,利用导数研究h(x)导函数恒非负的条件,即得a的取值范围
试题解析:解:(1)∵f(x)=x3+x2+mx,∴f′(x)=3x2+3x+m,
∵f(x)=x3+x2+mx在x=1处有极小值,∴f′(1)=6+m=0,得m=﹣6.
∴f(x)=x3+x2﹣6x,则f′(x)=3(x2+x﹣2)=3(x﹣1)(x+2).
∴当x∈(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,
则f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣2),(1,+∞),单调减区间为(﹣2,1);
(2)g(x)=f(x)﹣x3﹣x2+x﹣alnx
=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx.
假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>1恒成立,
不妨设0<x1<x2,只要g(x1)﹣g(x2)<x1﹣x2,
即:g(x1)﹣x1<g(x2)﹣x2.
令h(x)=g(x)﹣x,只要 h(x)在(0,+∞)为增函数即可.
又函数h(x)=g(x)﹣x=,
则h′(x)==.
要使h'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则需2x3+3x2﹣12x﹣2a≥0在(0,+∞)上恒成立,
即2a≤2x3+3x2﹣12x.
令t(x)=2x3+3x2﹣12x,则t′(x)=6x2+6x﹣12=6(x+2)(x﹣1).
∴当x∈(0,1)时,t(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,t(x)单调递增,
则t(x)min=t(1)=﹣7.
∴2a≤﹣7,得a.
∴存在实数a,对任意的x1、x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>1恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,f(2)=1,且对于任意a,b∈(0,+∞), 恒成立. (I)求f(8);
(II)求不等式 的解集.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率);
①;
②;
③
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望;
②从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,过椭圆: 的左右焦点分别作直线, 交椭圆于与,且.
(1)求证:当直线的斜率与直线的斜率都存在时, 为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设定义在[﹣2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m﹣1)>0,求实数m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】五边形是由一个梯形与一个矩形组成的,如图甲所示,B为AC的中点, . 先沿着虚线将五边形折成直二面角,如图乙所示.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求图乙中的多面体的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,且的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离为.
(1)求函数的解析式,并求出的单调递增区间;
(2)将函数的图象上所有点向左平移个单位,得到函数的图象,设, , 为的三个内角,若,且向量, ,求的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com