Question

7．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．已知甲厂生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．

Answer 1

分析 （1）求出抽样比，然后求解乙厂生产的产品数量；
（2）求出乙厂生产的产品中的优等品$\frac{2}{5}$，然后求解乙厂生产的优等品的数量；
（3）ξ的取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 （12分）解：（1）抽样比为$\frac{98}{14}=7，5×7=35$，即乙厂生产的产品数量为35件．
（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品$\frac{2}{5}$，
故乙厂生产有大约$35×\frac{2}{5}=14$（件）优等品，
（3）ξ的取值为0，1，2．
$P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}，P（ξ=1）=\frac{C_3^1×C_2^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}，P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

故$ξ的均值为Eξ=0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}+=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查分层抽样，离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．