Question

已知函数f（x）=e^xg（x），其中g（x）=ax²﹣2x﹣2．
（1）若存在x∈R，使得g（x）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数y=f（|sinx|）的值域．

Answer 1

解：（1）存在x∈R，使得g（x）＞0，
即存在x∈R，使得ax²﹣2x﹣2＞0，
当a＞0时，满足要求；
当a=0时，满足要求；
当a＜0时，△＞0，解得
综上得，
（2）f（x）=e^xg（x）=e^x（ax²﹣2x﹣2）
∴f'（x）=（e^x）'（ax²﹣2x﹣2）+e^x（ax²﹣2x﹣2）'
               =e^x（ax²﹣2x﹣2）+e^x（2ax﹣2）
               =e^x [ax²+（2a﹣2）x﹣4]
设|sinx|=t，（0≤t≤1），则转化为求函数y=f（t），（0≤t≤1）的值域．
当a=0时，f'（x）=﹣2e^x（x+2）＜0，此时函数f（t）在[0，1]上为减函数，
∴函数f（t）的值域为[f（1），f（0）]，即[（a﹣4）e，﹣2]
当a＜0时，
此时函数f（t）在[0，1]上为减函数，
∴函数f（t）的值域为[f（1），f（0）]，即[（a﹣4）e，﹣2]
当a＞0时，
令f'（x）=0，解得或x=﹣2（舍）．
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：

若，即0＜a≤2时，函数f（t）在[0，1]上为减函数．
∴函数f（t）的值域为[f（1），f（0）]，即[（a﹣4）e，﹣2]
若，即a＞2时，函数f（t）在上递减，在上递增
∴
函数f（t）在[0，1]上的最大值为f（0）与f（1）中的较大者
∵f（0）=﹣2，f（1）=（a﹣4）e，
∴f（1）﹣f（0）=（a﹣4）e+2
∴当时，f（1）＞f（0），
此时y_max=f（1）=（a﹣4）e；
当时，f（1）=f（0），此时y_max=f（0）=f（1）=﹣2；
当时，f（1）＜f（0），此时y_max=f（0）=﹣2
综上，当a?2时，函数f（|sinx|）的值域为[（a﹣4）e，﹣2]；
当时，函数f（|sinx|）的值域为；
当时，函数f（|sinx|）的值域为．