Question

已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，动点在轴上方.
（1）若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点，求以、为焦点且经过点的椭圆的方程；
（2）若∠，求△的外接圆的方程；
（3）若在给定直线上任取一点，从点向(2)中圆引一条切线，切点为. 问是否存在一个定点，恒有？请说明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）存在

试题分析：（1）双曲线的左、右焦点、的坐标分别为和，
∵双曲线的渐进线方程为：，
∴点的坐标为是渐进线上的点，即点的坐标为。
∵∴椭圆的长轴长
∵半焦距，∴椭圆的方程            ..5分
（2）∵，∴，即
又圆心在线段的垂直平分线上，故可设圆心
由。∴△的外接圆的方程为     ..9分
（3）假设存在这样的定点设点P的坐标为
∵恒有，∴
即对恒成立。
从而，消去，得
∵方程的判别式
∴①当时，方程无实数解，∴不存在这样的定点；
②当时，方程有实数解，此时，即直线与圆相离或相切，故此时存在这样的定点；      14分
点评：解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题将会逐步成为今后命题的热点，尤其是把直线和圆的位置关系同本部分知识的结合，将逐步成为今后命题的一种趋势