Question

【题目】（本题满分12分）已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于

的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）为定值.证明见解析。

【解析】本试题主要是考出了椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的运用的综合考查，体现了运用代数的方法解决解析几何的本质的运用。

（1）首先根据题意的几何性质来表示得到关于a,b,c的关系式，从而得到其椭圆的方程。

（2设出直线方程，设点P的坐标，点斜式得到AP的方程，然后联立方程组，可知借助于韦达定理表示出长度，进而证明为定值。

（Ⅰ）解：由题意可知，，，

解得. …………4分

所以椭圆的方程为. …………5分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，

于是直线的方程为，令，则.

即. …………7分

又直线的方程为，令，则，

即. …………9分

…………11分

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以为定值. …………12分